PHÉP TOÁN MOD LA GÌ TOÁN HỌC ? MOD NGHĨA LÀ GÌ

Phép lấy phần dư

Xét (a, b in mathbbZ, b eq 0), kí hiệu (a mod b) là số dư khi phân chia (a) đến (b).Ví dụ:(30 mod 7 = 2\10 mod 2 = 0\-12 mod 5 = 3)Ta thấy, (-12 mod 5) hoàn toàn có thể có 2 tác dụng là (-2) hoặc (3). Thông thường, khi có tác dụng toán thìsố dương được ưu tiên, tuy nhiên khi lập trình sẵn phép thủ thuật này đã cho tác dụng âm.

Bạn đang xem: Mod la gì toán học

Định nghĩa một cách chuẩn mực, xét phép phân tách Euclide (a) đến (b):(q in mathbbZ\a = bq + r\|r| 1) cùng 2 số nguyên (a, b), ta kí hiệu (a equiv b pmod n) khi (a) với (b)có thuộc số dư khi phân chia cho (n), gọi là (a) đồng dư cùng với (b) modulo (n).

Ví dụ:(12 equiv 7 equiv 2 pmod 5 \-3 equiv 2 pmod 5)

Như vậy, (a equiv b pmod n iff a mod n = b mod n).

Kí hiệu (ara_n) là tập hợp tất cả các số đồng dư cùng với (a) vào modulo (n):

<ara_n = x mid x equiv a pmod n \>

Ta có vành (mathbbZ/n) là tập hợp tất cả các (ara_n):

Ví dụ:(ar8_5 = ar3_5 = \dots,-7, -2, 3, 8, 13,dots\\mathbbZ/5 = \bar0_5, ar1_5, ar2_5, ar3_5, ar4_5\)

Phép toán bên trên vành modulo và một trong những tính chất

Phần này xét phép cộng và phép nhân. Phép cùng và phép nhân được có mang thông qualý thuyết vành:

<ara_n + arb_n = overlinea + b_n\ara_n - arb_n = overlinea - b_n\ara_n arb_n = overlinea b_n>

Ví dụ:

(ar6_10 + ar8_10 = overline6 + 8_10 = overline14_10 = ar4_10). Ý nghĩa là: “số chia 10 dư 6” cộng cho “số chia 10 dư 8”sẽ cho tác dụng là “số phân tách 10 dư 4”.

Ta cũng hoàn toàn có thể sử dụng kí hiệu đồng dư: (6 + 8 equiv 14 equiv 4 pmod10)

Dấu (equiv) cũng có tính chất tựa như như lốt (=):

giả dụ (a equiv b pmod n) cùng (b equiv c pmod n) thì (a equiv c pmod n)

Xét (a, b, k in mathbbZ), nếu như (a equiv b pmod n) thì ta tất cả các tính chất sau:

<-a equiv -b pmod n> Tổng quát, ta có (p(a) equiv p(b) pmod n), với (p) là đa thức có hệ số nguyên.

Xem thêm: Top 5 game học chữ cái tiếng nhật, học tiếng nhật cơ bản hiragana 4+

Ngược lại, ta có:

nếu (ka equiv kb pmod n) với (k) nguyên tố cùng nhau với (n) thì (a equiv b pmod n)

Xét (a_1 equiv b_1 pmod n) và (a_2 equiv b_2 pmod n), ta có:

Ví dụ vận dụng toán đồng dư

Trong lấy một ví dụ sau mình sẽ chứng minh “Một số chia hết mang đến 3 khi và chỉ còn khi tổng những chữ số của số đó chia hết cho 3”.

Xét số (A) có (n) chữ số vào hệ thập phân: (a_0, a_1, a_2,dots,a_n-1), ta có:

Theo bài toán thì ta có (A) chia hết mang đến 3, gồm nghĩa là: (A equiv 0 pmod 3)

Tương đương với:

Mặt khác, vì chưng (10 equiv 1 pmod 3) nên ta có thể thay 10 bằng 1 trong những biểu thức nghỉ ngơi trên, ta có:

Chứng minh xong. Áp dụng kĩ thuật tựa như ta cũng có thể chứng minh các số phân chia hết mang lại 9 sẽ có tổng những chữ sốchia hết mang đến 9.

Trong bài này bọn họ sẽ học tập về có mang modulo. Hai số $a$ cùng $b$ được hotline là đều nhau modulo $n$ ví như $a$ cùng $b$ bao gồm cùng số dư khi phân tách cho $n$. Giỏi nói cách khác, là $(a-b)$ chia hết cho $n$. Họ sẽ viết $a = b pmodn$.
Ví dụ như, $5 = 9 pmod2$, $-1 = 3 pmod2$, $-2 = -8 pmod2$. Cụ thể theo modulo 2 thì một số trong những $a$ bất kỳ sẽ hay những $a=0 pmod2$ lúc nó là số chẳn, hay những $a=1 pmod2$ lúc nó là số lẽ.
Sau đây là một vài ví dụ như khác: $$0 = 3 = 6 = 9 = 12 = -3 = -6 pmod3,$$ $$1 = 4 = 7 = -2 = -5 pmod3,$$ $$2 = 5 = 8 = -1 = -4 pmod3,$$ $$0 = 4 = 8 = -4 pmod4,$$ $$1 = 5 = -3 = -7 pmod4,$$ $$2 = 6 = -2 = - 6 pmod4,$$ $$-2 = -14 pmod6, ~~~7 = -14 pmod7, ~~~5 = -3 pmod8, ~~~16 = -2 pmod9, ...$$
Chúng ta nói lại định nghĩa, chúng ta nói $a = b pmodn$ khi mà $a-b$ phân chia hết đến n với đọc là $a$ bởi $b$ modulo $n$.